Toán hữu hạn Ví dụ

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Bước 1.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 12 - 7 \cdot 5$

Bước 1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nhân $3$ với $12$ .

$36 - 7 \cdot 5$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $5$ .

$36 - 35$

Bước 1.2.2.2

Trừ $35$ khỏi $36$ .

$1$

Bước 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Bước 1.5

Chia $1$ cho $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Bước 1.6

Nhân $1$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Bước 1.7

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $12$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Bước 1.7.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Bước 1.7.3

Nhân $- 7$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Bước 1.7.4

Nhân $3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Bước 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Bước 3.1.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} 12 \cdot 3 - 5 \cdot 7 & 12 \cdot 5 - 5 \cdot 12 \\ - 7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & - 7 \cdot 5 + 3 \cdot 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 3.1.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 3.3

Nhân $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Bước 3.3.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$x = [\begin{array}{c} 12 \cdot 2 - 5 \cdot 3 & 12 \cdot - 1 - 5 \cdot 2 \\ - 7 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 7 \cdot - 1 + 3 \cdot 2 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$x = [\begin{array}{c} 9 & - 22 \\ - 5 & 13 \end{array}]$